Confinament 58

Confinament 58

Els matemàtics poden passar tant de temps en el món abstracte de les seves construccions mentals que acaben per oblidar totes les relacions entre la matemàtica i la realitat física que els envolta. Riemann havia transformat els nombres primers en funcions d’ona (...) aquestes ones no són solament una música abstracta, sinó que poden traduir-se en sons reals.

La música dels nombres primers. Marcus du Sautoy

La Física dels Primers (VI)

Algunes constatacions en relació a d’altres investigacions.

Constant Brun (B2) 1,902160583104 i constant Àvalon (∆) 1,8771016182827037301565025484718

La constant Brun és la suma de tots els inversos dels bessons primers [(1/3+1/5) + (1/5+1/7) +...].

Per calcular la constant àvalon considerarem trams de potències de 10 consecutives. En principi, fins el 1000000 de naturals hi ha 83 àvalons, dels quals 18 són trivials, per aparèixer en els primers trams de la sèrie, de fet, en la primera Matriu [9_9900] practicament, 0_104. Per tant considerarem que n’hi ha 65, entre 105 i 106. Aquest serà, així, el primer tram a tenir en consideració.

Una constant suma una sèrie convergent i l’altra avalua la quantitat de bessons primers, de determinada condició que ens trobarem entre trams de potències de 10.

0_106_65_9,6411232880686369934537019533147 (=LN106/65). Fins el milió de Naturals hi ha 65 àvalons, múltiples de 9 de primera instància (la suma dels dígits és 9 en tots els casos) i van ‘encerclats per dos primers bessons [17_18_19], per exemple. Per calcular la presència d’àvalons hem cercat tot al llarg del conjunt de Naturals aquestes coincidències. Hem detectat que hi ha més àvalons en cada tram superior de potències de 10, però proporcionalment menys en relació a la quantitat de Naturals per cada àvalon. Així, dins del tram 106, per exemple n’hi un de cada 15384,615384615384615384615384615. El número que apareix a l’inici d’aquest paràgraf és el LN d’aquesta xifra, per facilitar els recomptes. 

 

 

El tram següent conté 94 àvalons, com es pot veure a continuació. En són més en nombre absolut però menys relativament a la quantitat de Naturals per cada àvalon; 107-106 = 9·106, que dividit per 94 dona 1 àvalon cada 95744,680851063829787234042553191 naturals. La densitat d’àvalons disminueix, per tant. I ho fa, respecte del tram anterior en un número que és la diferència aquesta LN9·106/94 - LN106/65.


106_107_94_(LN9·106/94)=11,469440353030489590660256410721_(LN9·106/94-LN106/65)= 1,8283170649618525972065544574062 _94

99,471457588620360616584632990134∆_97,009778217203234061988641038194 B2


107_108_141_(LN9·107/141)=13,366560337916370892700234749941_(LN9·107/141-LN106/94)= 1,89711998488588130203997833922_141

143,85103097431252150706085386266∆_140,29106388334006156656818857831B2


108_109_213_(LN9·108/213)=15,256613155579159742209722341884_(LN9·108/213-LN9·107/141)= 1,890052817662788849509487591943_213

215,77654646146878226059128079398∆_210,43659582501009234985228286747 B2


109_1010_325_(LN9·109/325)=17,136665231952893053697407457987_(LN9·109/325-LN9·108/213)=1,880052076373733311487685116103_325

325,96031486732518171280810502921∆_317,89358092714290546467046986362 B2


1010_1011_491_(LN9·1010/491)=19,026631379482155644236214695674_(LN9·1010/491-LN9·109/325)=1,889966147529262590538807237687_491

497,35728794310180308292316495067∆_485,04889108601617030994320519097 B2


Aquestes xifres, obtingudes experimentalment, això és cercant un a un tots els àvalons que hi ha en cada fragment de potència de 10 del conjunt dels Naturals, ens permet de fer una mitjana provisional del total de reducció de densitats d’àvalons per nombre absolut de Naturals igual a la suma de cada disminució per tram, dividit pels trams considerats (5, fins aquí), 9,3855080914135186507825127423592 / 5 = 1,8771016182827037301565025484718. Xifra que hem denominat Constant d’Àvalon.

Si seguíem, i aplicàvem la constant àvalon als trams següents, segon l’expressió deduïda en altre lloc, eln10x-∆, en què x són els àvalons del tram immediatament anterior, en el tram 1011_1012 hauria d’haver eln10·491-1,8771016182827037301565025484718, 751,39208732327072404220084304855 àvalons.
(...)

Si teníem en compte la diferència entre les dues constants, l’oscil·lació de números àvalons previstos a futur és insignificant, 0,0250589648212962698434974515282. De fet, el nombre d’àvalons ‘real’ que hem pogut trobar experimentalment es troba sempre en un xifra intremig de les previstes per Àvalon i Brun. Àvalon i Brun coincidiran quan 0,0250589648212962698434974515282 = 10-12+10-13+...+10-n, amb n quantificable. 

 

 

Els primers nombres primers

I recordem que els àvalons que nosaltres hem comptabilitzat únicament són els ‘atrapats’ entre dos bessons primers que compleixen el fet de ser múltiples de 9 de primera generació (la suma dels dígits dels quals, en primera instància, és 9). La conclusió seria que hi ha tants bessons primers que atrapen múltiples de 9 de segona i següents generacions, com els que trobarem entre els de 1a generació. Que el nombre total de bessons primers és infinit, malgrat la sèrie que suma Brun siga convergent. I que les proporcions entre trams de potències de 10 consecutives de bessons primers es manté constant, òbviament augmentat en cada tram però amb una tendència proporcional a disminuir en relació al nombre de naturals per cada tram. Si traçassem la corba de la funció d’aquests acabaria sent una paral·lela a l’eix de les ics en els límits de l’infinit.

Altres matemàtics han formalitzat el cardinal de primers en relació a un N determinat de distintes maneres.

Euler en 1737 ja va definir que limx→∞(∑1/p)=∞, amb p ‘primer’, i que e=∑∞ n=01/n!. Gauss va calcular que ᴫ(N), cardinal del conjunt {p≤N, tal que p és primer}, ᴫ(N)≈N/ln(N); per a potències de 10, tants primers (ᴫ(N)), i la distància mitjana entre ells (=quants N hi ha per cada primer), amb un increment que s’estabilitza en 2,3 a partir de 104, això és (10000_1229_[10000/1229]_8,14...105_9592_10,43]...i 10,43-8,14≈2,3.

A més a més va afinar el recompte seguint el raonament amb aplicació de logaritmes, ᴫ(N) ≈ N/ln(N) ≈ 1/ln2+1/ln3+...+1/lnN = ∑N i=21/ln(i); Li(N) = ∫N 2dy/ln(y). Euler ja havia constatat que en R2 la funció zeta ζ(x)=∑∞ n=11/nx, per a n=2, convergeix, i és igual a ᴫ2/6, i que aquesta funció ζ es pot reeescriure com el producte Πp€P1/1-p-x, cosa que Riemann va interpretar en R4, amb números complexos, determinant que quan ζ és distinta de zero tots els nombres primers se situen en 1≻a≻0, per a a+bi, en ζ(z)=∑∞ n=11/nz, per a z complex i distint d’1; una funció que en els pars negatius s’iguala a zero, els zeros trivials de Riemann.

Nosaltres ho hem fet de la següent manera. Siga ᴫ(X) els primers bessons que hi ha entre dues potències de 10n per a n≥6, de manera que ᴫ(x1)={bessons primers [106_107]}, tal que p i p+2 són primers bessons i p+1 és un múltiple de 9 de 1a generació, és a dir, que la suma dels dígits de què consta és igual a 9 en primera instància, o dit d’altra manera que aquesta suma dividida per 9 és igual a 1. El cardinal de bessons primers de la potència següent de 10, amb igual condicions és igual a aquesta expressió, eln10x-∆, on x és el cardinal del tram anterior de potència de 10 i ∆ és la constant Àvalon que és pràcticament igual a la Constant de Brun. El cardinal de tots els bessons primers Π(X)≤N d’aquestes característiques seria 2·∑∞ i≥6eln10x-∆, ᴫ(xi)={x[10n_10n+1],n≥6}, vist que ᴫ(bessons)=2·ᴫ(àvalons).

Josep Franco i Giner