Confinament 63

 

 Confinament 63

La densitat de Nombres Primers en el context dels Naturals decreix segons aquesta relació. Anomenem an el nombre de Primers en el Tram de Naturals entre 10n-1 i 10n. Ln an+1 – Ln an = ∫n, on ∫n és la variació de Nombres Primers entre els tram considerats (10n-1 i 10n). La Variació del següent Tram, ∫n+1 respecte de l’anterior manté aquesta relació: ∫n+1 - ∫n = -0,05, quan n→∞. A més a més, de la relació Ln an+1 / Ln an = ∫∫n, afirmem que ∫∫n+1 - ∫∫n = -0,01. I finalment, ∫n + ∫∫n = 2.

La Física del Primers (XI)
Resultats III
(Conclusions I)

∆, Delta, mesura la diferencia entre trams de Potències de 10, del nombre de Naturals que hi ha per cada Àvalon en aqueix tram. ∆, per tant, és, en cada tram, Ln 10·X-Ln Y, on X és el nombre d’àvalons del tram immediatament anterior al d’Y, nombre d’àvalons, per tant, del tram on estem. Per exemple, ∆ (1,8994)=Ln 10·145 – Ln 217 (1,8995). De l’equació eLn 10·x - ∆ = y
0_106        70 a1    1cada14285,71        (LN) 9,5670
106_107    100 a2    1cada90000            (LN) 11,4075        ∆1,8405
107_108    145 a3    1cada620689,65        (LN) 13,3385        ∆1,931
108_109    217 a4    1cada4147465,43        (LN) 15,2380        ∆1,8995
109_1010    328 a5    1cada27439024,39        (LN) 17,1274        ∆1,8894
1010_1011    563 a6    1cada159857904,08        (LN) 18,8897        ∆1,7623
1011_1012    873*    1cada1030927835,05        (LN) 20,7537        ∆1,864
1012_1013    1351*

Pel que fa a la densitat per volums de cada potència de 10, ∂, delta minúscula, esbrina quina densitat per trams de potències de 10 hi ha d’Àvalons, i ens mostra com aquesta densitat va disminuint segons avancem en N, però no ho fa ‘progressivament’, de manera que en determinats trams, sembla augmentar ‘relativament’

∂1 = a1/106; ∂2 = a2/9·106; ∂3 = a3/9·107; ∂4 = a4/9·108; ∂5 = a5/9·109; ∂6 = a6/9·1010 (...)
La densitat dels primers ja fou avaluada per Gauss en aproximadament 1 / ln x, per a un determinat #{primers ≤ x} ≈ ∑n=2 [x] 1 / ln n ≈ ∫2x dt / ln t = Li (x) (Suma de la Inversa de la funció de Gauss: 1 / ln x), amb un error aproximat de 0≺ Li (x) – ᴫ (x) (#{primers ≤ x}) ≺ √ᴫ(x), que Littlewood, 1914, va reinterpretar afirmant que existeien valors de x arbitràriament grans per als quals ᴫ(x) ≻ Li (x), això és, #{primers ≤ x} ≻ 1/lnx, o també, #{primers ≤ x} ≻ ∫2x dt / ln t.
Per a un càlcul més precís, rescatem el que Riemann deia, mcm [1, 2, 3, . . . , x] ≈ ex quan x→∞. En el nostre cas, aquesta equació es pot reescriure de la següent manera, quan x tendeix a infinit, e ln 10 x - ∆, validant, ln x - ∆ = la x de la equació anterior, que aquí nomenarem y. Vist que si x→∞, també ln x - ∆ tendeix a infinit. Per tant, mcm [1, 2, 3, . . . x] ≈ ∑x=1n e ln 10 x - ∆. 

 

Carl Gauss

Si seguim amb el raonament,

(Π p≤x p) * (Π p2≤x) * (Π p3≤x) * . . . = mcm [1, 2, 3, . . . , x] ≈ ∑x=1n e ln 10 x - ∆, aplicant Ln a totes les bandes,
(∑p≤x lnp) + (∑p2≤x lnp) + (∑p3≤x lnp) + ... ≈ ln (mcm [1, 2, 3, ...x]) (ex) = x , quan x tendeix a infinit, (= ∑x=1n ln 10 xn - ∆, considerant x1, x2, x3...xn, quan n tendeix a infinit, els valors del nombre d’àvalons per trams de potències de 10), i aplicant a totes les bandes la suma per parts,
ᴫ (x) + 1/2 ᴫ (x1/2) + 1/3 ᴫ (x 1/3) + ... ≈ ∫2x dt / ln t = Li (x), la qual cosa implica que ᴫ (x) = Li (x) – 1/2 Li (x 1/2 ) + 1/3 Li (x 1/3) – ..., per tant la predicció de Riemann, més ajustada que la de Gauss, prediu una desviació Li (x) – ½ Li (√x) – ᴫ (x), mestrestant la de Gauss era Li (x) – ᴫ (x).

Com, a més a més per a nosaltres, tots els àvalons es poden quantificar, com més avall es veurà, segons aquesta Suma
(a1 1/n + Ka1 1/n)n = ∑n k=0 (n k) a1 n-k/n Kk a1 k/n = (n0) a1 + (n1) a1 n-1/n K a1 1/n + (n2) a1 n-2/n K2 a1 2/n + (n3) a1 n-3/n K3 a1 3/n + (...) (nn) Kn a1,
per a a1 = 70, amb una oscil·lació de k entre 0 i 0,15, en el límit per a un N→∞, tots els àvalons de n generacions, i col·laterals, sumaran igual que tots els Primers previstos en les consideracions de Gauss i Riemann, si Déu vol i Quico.

 

Bernhard Riemann

Pel que fa al percentatge que li hem de sumar a la quantitat immediatament anterior, ζ, zeta minúscula, calcula quin percentatge li hem d’afegir al nombre d’Àvalons d’un tram determinat per passar al següent tram,
a1; a2 = a1 + ζa1; a3 = a2 + ζa2; a4 = a3 + ζa3; a5 = a4 + ζa4; a6 = a5 + ζa5 (...) ≈ ∑∞n=1 an + ζ an

I finalment k, kappa minúscula, avalua el desenvolupament d’aquests polinomis
A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + ...
a1 + a2(a1+ka1) + a3(a2+ka2) + a4(a3+ka3) + a5(a4+ka4) + a6(a5+ka5) + a7(a6+ka6) + a8(a7+ka7) + a9(a8+ka8) + a10(a9+ka9) + a11(a10+ka10) + ...
a1 + (a1+ka1) + (a2+ka2)* + (a3+ka3)** + (a4+ka4)*** + (a5+ka5) + (a6+ka6) + (a7+ka7) + (a8+ka8) + (a9+ka9) + (a10+ka10) + ...
a1 + (a1+ka1) + [a1+ka1+k(a1+ka1)]* + [a2+ka2+k(a2+ka2)]** + [a3+ka3+k(a3+ka3)]*** +
[(a1) + (a1+ka1) + [a1+2ka1+k2a1]* + [a2+2ka2+k2a2]** + [a3+2ka3+k2a3)]*** + [a4+2ka4+k2a4]**** + [a5+2ka5+k2a5]*****
    [a2+2ka2+k2a2]**= [a1+ka1+2k(a1+ka1)+k2(a1+ka1)]**=[a1+ka1+2ka1+2k2a1+k2a1+k3a1]**=[a1+3ka1+3k2a1+k3a1]**
    [a3+2ka3+k2a3)]***=[a2+ka2+2k(a2+ka2)+k2(a2+ka2)]***=[a2+ka2+2ka2+2k2a2+k2a2+k3a2]***=[a2+3ka2+3k2a2+k3a2]***=[a1+ka1+3k(a1+ka1)+3k2(a1+ka1)+k3(a1+ka1)]***=[a1+ka1+3ka1+3k2a1+3k2a1+3k3a1+k3a1+k4a1]***=[a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]***=[+a1+ka1+k(a1+ka1)+2k((a1+ka1)+k(a1+ka1))+k2((a1+ka1)+k(a1+ka1))]***=[a1+ka1+ka1+k2a1+2ka1+2k2a1+2k2a1+2k3a1+k2a1+k3a1+k3a1+k4a1]***=[a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]***
    [a4+2ka4+k2a4]****=a3+ka3+2k(a3+ka3)+k2(a3+ka3)=[a3+2ka3+k2a3]***+[ka3+2k2a3+k3a3]=[ a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]*** + [ka1+ 4k2a1+6k3a1+4k4a1+k5a1]=[a1+5ka1+10k2a1+10k3a1+5k4a1+k5a1]****
    [a5+2ka5+k2a5]***** = [a1+6ka1+15k2a1+20k3a1+15k4a1+6k5a1+k6a1] =
 

Que reixen segons aquesta matriu, en escala, 1+2=3, dos números consecutius de la mateix fila sumen el número immediat inferior, això és seguint el patró de l’Escala de Pascal o de Tartaglia

Josep Franco i Giner