Confinament 51: El "Primo"

 

Confinament 51

 Com més ens allunyem del zero la quantitat de nombre primers es fa més problemàtica. Segons Riemann sempre oscil·larem entre un excés i una manca de números en relació als reals, que desconeixem. Segons Gauss sempre estarem per sobre d'aquests, malgrat que en aquelles regions tan allunyades, sembla que estarem en dèficit.

En qualsevol cas, seguim sense entendre el seu cardinals, ni la seva distribució.

Serà que Z, el conjunt del Enters,  no és homogeni?

 

2. Sabem que, tot i que no ho hem demostrat, (1) existeix un nombre infinit de primers p tals que p+2 també és primer i (2) que qualsevol nombre parell major de 2 es pot reescriure com a suma de dos primers.

 

3. La nostra conjectura és que existeix un múltiple de 9 la suma dels dígits del qual és 9, que és igual a p+1. A aquesta hipòtesi l’hem anomenada La Conjectura d’Àvalon.

 

4. Des d'un punt de vista de les probabilitats està assumit que, tot i haver cada vegada menys bessons primers, la conjectura (1)  és certa.

Per pocs que n'hi vagen quedant, si qualsevol nombre enter superior a 2 parell es pot reescriure com la suma de p+b, essent p i b primers (conjectura de Goldbach, 2), és poc probable que s'esgoten els bessons perquè la suma de dos bessons sempre és un nombre parell. Esgotar-se seria tant com dir que el conjunt dels enters és finit.

En aquesta tessitura, i tenint en compte que cada vegada es distancien més els nombres múltiples de 9 la suma dels dígits dels quals és igual a 9, però que són infinits, per bé que convergeixen en el límit a una sèrie semblant a la freqüència d'aparició de primers, i més encara de bessons, acabats en 7 i 3, la meitat que els acabats en 9 i 1, podem esperar que en els finals de les sèries, apareixerà la condició p, primer, p+1, múltiple de 9 (etc.), i p+2 primer.

 

EL ‘PRIMO’

          Tot comença fent tentines. Aquest és un viatge pels números, fet per algú que no és matemàtic, però a qui, des de sempre, li han ocasionat agradosos moments, quasi diria que una lleu promoció d’endorfines. No sé si la cosa em ve del fet de ser fill de botiguer, orxater. A mon pare sempre l’he vist ocupat a fer comptes, mentalment del futur, del temps que faria, de la pòlissa del Banesto, que era una ruïna, dels sacs de sucre que hauríem mester per acabar la temporada, una xifra, com la dels sacs de xufles, que s’havia d’aproximar molt a l’estrictament necessària, altrament ambdós matèries primeres perdien la qualitat exigida per al producte que li agradava d’oferir als seus clients, les taules a la terrassa, la disposició de les taules a la terrassa, el nombre de cambrers suficient i necessari per poder atendre com es mereixia el visitant a la terrassa, les relacions entre l’aigua i els altres components de les teques a servir, ratlladures de dues llimones, quilo i mig de sucre, un quilo de sucre cremat fet líquid xarop, i fins a deu litres d’aigua, en això consistia la barreja per la confecció de l’aigua-llimó, i així fins a l’infinit, el cap de mon pare era com una màquina universal teòrica de Turing, i d’aquí, crec em ve la dèria pels números, una mena de refugi que m’aïlla de la resta del món, descregut, repetit, vell i mal de coure, com diria la mare d’un amic, una sàvia, segons ell, un món, el dels números que sembla organitzat, però que no ho està tant si ens hi capbussem al seu si, qui anava a dir-nos que hi ha infinits de cardinals distints (Cantor), o que no hi ha manera de saber quin serà el ‘pròxim’ nombre primer (ja des d’Euclides), o que entre 0 i 1 hi ha infinits racionals, que es poden escriure en forma de fracció, o d’irracionals, amb infinits números després de la coma, sense cap patró que es repetisca (com ara el nombre d’auri φ=1,6180..., que no està entre zero i u, però és que els irracionals apareixen de pertot), que hi haja més nombres entre 0 i 1 que en tot el conjunt dels Naturals (Cantor, altre cop) costa de creure, i encara més la Hipòtesi del Continu (no pot haver un conjunt entremig d’aquest darrers), que Hilbert va incloure entre els 23 problemes a demostrar al segle XX, i que Gödel va concloure que era un problema indicible, els axiomes de la teoria dels conjunts, no poden acceptar ni rebutjar la hipòtesi...

 

El passeig i l'orxateria

 

          El que teniu aquí baix és una mena de col·lecció de nombres múltiples de 9, la suma dels dígits dels quals és 9, i en cursiva i en vermell, els números d’aquests que van entremig de dos bessons primers, com ara,

 M¹₁₈ (9_9900) 18 ⁵⁴ 72 ³⁶ 108 ⁷² 180 ⁹⁰₁ 270 ¹⁶²₂ 432 ³⁷⁸ 810 ²⁵² 1062 ⁹⁰₁ 1152 ⁴⁶⁸ 1620 ⁵²²₃ 2142 ¹⁹⁸₄ 2340 ¹⁷¹⁰₅ 4050 ¹⁸⁰₆ 4230 ⁷⁹² 5022 ¹²⁷⁸ 6300 ¹⁷¹⁰₅ 8010 ⁹⁹⁰ 9000 ¹⁰⁰⁸

M²₈ (9909_19800) 10008 ⁵²²₃ 10530 ¹⁸⁰₆ 10710 ³⁶⁰ 11070 ⁹⁰₁ 11160 ⁵⁴⁰₇ 11700 ³⁴² 12042 ¹⁹⁸₄ 12240 ⁷⁹⁹²

M³₅ (19809_29700) 20232 ⁸²⁸ 21060 ⁵⁴⁰₇ 21600 ¹⁴⁴⁰ 23040 ¹⁶²₂ 23202 ⁸¹¹⁸

 (s’assenyalen als exponents les distàncies entre aquests números, que hem anomenat Àvalons, i als subíndex les regularitats que va apareixent –entre 270 i 432 hi ha la mateixa distància que entre 23040 i 23202, per exemple (2). Sabem, per tant, que entre els primers bessos [269/271_431/433 i [23039/23041_23201/23203] hi ha la mateixa distància, que és saber ben poc, de moment, però si seguim avançant en la sèrie de les distàncies, les dividim per 9, i els apliquem el logaritme neperià, i fem mitges dels resultats, obtenim una cosa semblant a aquesta

L_{N DISTÀNCIA}: [M¹]  (1,3862/5,2470)  1,7917  1,3862  2,0794  2,3025  2,8903  3,7376  3,3322  2,3025  3,9512  4,0604  3,3322  5,2470  2,9957  4,4773  4,9558  5,2470  4,7004  4,7184  [M²]  (2,3025/4,4773)  4,0604  2,9957  3,6888  2,3025  4,0943  3,6375  3,0910  4,4773  [M³]  (2,8903/6,8046)  4,5217  4,0943  5,0751  2,8903  6,8046  [M⁴]  7,0012  [M⁵]  6,8875  [M⁶]  (2,4849/7,0732) 2,4849 7,0732  [M⁷]  7,0030  [M⁸]  (3,0910/8,1101)  3,0910  8,1101  [M⁹]  [M¹⁰]  [M¹¹]  (4,1271/6,5042)  4,2766  4,3567  4,1271  5,5214  6,5042  [M¹²]  2,9957  5,6419 ...

 

Cosa que podríem avançar i avançar fins on volguérem

 M1 1100 9*1_9*1100 (9_9900), M2 2200 9*1101_2200 (9909_19800), M3 3300 9*2201_3300 (19809_29700), M4 4400, M5 5500, M6 6600, M7 7700, M8 8800, M9 9900, M10 11000, M11 12100, M12 13200, M13 14300, M14 15400, M15 16500, M16 17600, M17 18700, M18 19800, M19 20900, M20 22000...M30 33000 ... M40 44000 ... M50 55000 ... M60 66000 ... M70 77000 ... M80 88000 ... M90 99000, M91 100100, M92 101200, M93 102300, M94 103400, M95 104500, M96 105600, M97 106700, M98 107800, M99 108900, M100 110000, M101 111100 ... M110 121000 ... M120 132000 ... M130 143000 ... M140 154000 ... M150 165000 ... M160 176000 ... M170 187000 ... M180 198000 ... M190 209000 ... M200 220000 ... M300 330000 ... M400 440000 ... M500 550000 ... M600 660000 ... M700 770000 ... M800 880000 ... M900 990000 ... M909 999900 ... M910 1001000 M990 1089000, M991 1090100, M992 1091200, M993 1092300, M994 1093400, M995 1094500, M996 1095600, M997 1096700, M998 1097800, M999 1098900, M1000 1100000...

 

 Als números múltiples de 9 la suma dels dígits dels quals és 9 (d’ara endavant: ∑₁ⁿn₁...n_n=9↔∑_n9) els hem definit [9N∩∑_n9]), a les taules reescrits seguint el model [9999999999_]={Ø101}, entre 9 i 99 [9*1, 9*2...9*11], tenim {10} posicions que compleixen la condició [9N∩∑_n9], cap abans de la primera {Ø}, i 1 que no {_}, {Ø101}. Els Àvalon seran, doncs, aquesll números [9N∩∑_n9] P / P+1 i P-1, són bessons primers.

 

 En definitiva, la matemàtica, és una qüestió personal (Gauss), i no sempre s’està obligat a proposar teoremes, demostrats i tancats, cosa que Gödel amb el seu Teorema d’Incompletessa, per cert, va deixar constància que era una tasca inacabable, sinó que és permés de fer conjectures que vés a saber qui les resoldrà (nosaltres segur que no).

 

M21 4a Fila 4t Tram {344}: 201303 [22367]; 201312 [22368]; 201321 [22369]; 201330 [22370]   M21     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22110     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22220     _ _ 9 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22330     _ _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22440     _ _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22550     _ _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22660     _ _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22770     _ _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22880     _ _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 22990     _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23100	{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {281}{272}{263}{254}{245}{236}{227}{218}{11}{11} {371}{362}{353}{344}{335}{326}{317}{11}{11}{11} {461}{452}{443}{434}{425}{416}{11}{11}{11}{11} {551}{542}{533}{524}{515}{11}{11}{11}{11}{11} {641}{632}{623}{614}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {731}{722}{713}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {821}{812}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {911}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}
M22 23101_24200                207909_217800   M22     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23210     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23320     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23430     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23540     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23650     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23760     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23870     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 23980     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24090     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24200	{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{272}{263}{254}{245}{236}{227}{218}{11}{11} {11}{362}{353}{344}{335}{326}{317}{11}{11}{11} {11}{452}{443}{434}{425}{416}{11}{11}{11}{11} {11}{542}{533}{524}{515}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{632}{623}{614}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{722}{713}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{812}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}
M23 24201_25300                217809_227700   M23     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24310     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24420     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24530     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24640     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24750     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24860     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 24970     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25080     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25190     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25300	{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{263}{254}{245}{236}{227}{218}{11}{11} {11}{11}{353}{344}{335}{326}{317}{11}{11}{11} {11}{11}{443}{434}{425}{416}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{533}{524}{515}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{623}{614}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{713}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}
M24 25301_26400                227709_237600   M24     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25410     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25520     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25630     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25740     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25850     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ 9 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 25960     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ 9 _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 26070     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 26180     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 26290     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / 26400	{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{254}{245}{236}{227}{218}{11}{11} {11}{11}{11}{344}{335}{326}{317}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{434}{425}{416}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{524}{515}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{614}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11} {11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}{11}

         La regularitat dels nombres del tipus [9N∩∑_n9] P és manifesta. Sabem que existeix una regularitat d’aparició de Primers N/L_nN, per Gauss, corregit per Riemann, que estableix que fins a un número determinat el nombre de primers que trobarem es correspon amb una sèrie com aquesta: N 10 (els 10 primers números) ᴫ(N) 4 (nombre de primers) 2,5 (distància entre primers)...N 100.000 ᴫ(N) 9592 10,4...N 10.000.000.000 ᴫ(N) 455.052.511 22 ...i com la freqüència d’aparició de primers i bessons primers ha de ser ‘proporcional’ hem establert com a conjectura que el nombre de números Àvalon (∆) en cada tram de potències de 10, [9N∩∑_n9] P / P+1 i P-1, són bessons primers, tot i tenint en compte el punt 4 de la cita inicial és 10^N / e^N · L_n10^N, cosa la qual algú altre haurà de demostrar: e, és la base dels neperians 2,7182818285; el símbol ↔ l’usem per assenyalar la distància entre números àvalon (entre 1 i 10¹¹, per exemple, hi ha un Àvalon cada 65940,51 números).

N10 ∆1,59 ↔1,59...N10⁴ ∆1708,6696 ↔58,52...N10¹¹ ∆1.516.518,3678 ↔65940,51...

 Josep Franco i Giner