La hipòtesi Àvalon: Final

 

LA HIPÒTESI ÀVALON_FINAL

 

Coneguts els cardinals de Nombres Primers (https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function) fins la Potència n (n pertany al conjunt N) podem calcular (aproximadament) el cardinal de la Potència n+1 mitjançant la següent equació.

 

#{p≤x=10ⁿ⁺¹} ≈ #{p≤x=10ⁿ}^2n/n+1*#{p≤x=10^n-1}^1-n/n+1*e^{[(#{p≤x=10n}-#{p≤x=10n-1})/(2n*#{p≤x=10n-1})]}*1,00527719474922097447944

 Que equival a

C_n+1 = C_n^2n/n+1 C_n-1^1-n/n+1 e^{Cn-Cn-1/2nCn-1} * 1,00527719474922097447944

C_n = #{p≤x=10ⁿ}

 Pot comprovar-se que l’Error entre les potències 2 i 29, que són els valors dels cardinals de primers coneguts, oscil·la entre (per a n=2) 2,3814801707% i (per a n=29) 0,1929775508%, amb una mitjana d’Error en % de -0,903330335%.

 

MICRO Quadre Deducció Equacions

Coneguts els cardinals de Nombres Primers #{p=x≤10ⁿ}¹, 1≤n≤29, n∈N; per esquematitzar, aquí #{p=x≤10ⁿ} = C_n. Definits P_n-5 = C_n – C_n-1, per tant, P₁ = 68905. Definits k_n = (P_n+1^1/nP₁^-1/n) -1, per tant, P_n+1 = (P₁^1/n+ P₁^1/n k_n)ⁿ. P_n+1 = (P₁^1/n+ P₁^1/n k_n)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (_kⁿ) (P₁^1/n)^n-k (P₁^1/n k_n)^k

P₁ = P₁; P₂ = P₁+P₁k₁; P₃ = P₁+2P₁k₂+P₁k₂²; P₄ = P₁+3P₁k₃+3P₁k₃²+P₁k₃³; P₅ = P₁+4P₁k₄+6P₁k₄²+4P₁k₄³+P₁k₄⁴ (…) →

Transformem cada sumand de P_n+1 = (P₁^1/n+P₁^1/nk_n)ⁿ → en P_n+1^ns+1 = 10ⁿ / (n+1) [(P₁^1/n+P₁^1/nk_n)ⁿ], on n_s+1 sobre P_n+1 indica el número de sumand de cada n

P₁^s1 = P₁^1s = 1/P₁; P₂^s2 = P₂^1s+P₂^2s = (10/2)/P₁+(10/2)/k₁P₁; P₃^s3 = P₃^1s+P₃^2s+P₃^3s = (100/3)/P₁+(100/3)/2k₂P₁+(100/3)/k₂²P₁; P₄^s4 = P₄^1s+P₄^2s+P₄^3s+P₄^4s = (1000/4)/P₁+(1000/4)/3k₃P₁+(1000/4)/3k₃²P₁+(1000/4)/k₃³P₁ (...)

L’expressió general per a qualsevol sumand de la qual seria

P_n^ns = 10^n-1 n^-1 [(_ns-1^n-1)(k_n-1^ns-1)(P₁)]^-1; (_ns-1^n-1) = (n-1)! / (n_s-1)!((n-1)-(n_s-1))!

Aquesta equació té dues propietats per als darrers sumands de cada P_n^ns: vist que ∀n, n∈N,

(_ns-1^n-1) = (_nsⁿ) = (_ns+1ⁿ⁺¹) = 1

i [(P_n+2^ns+2/P_n+1^ns+1)/(P_n+1^ns+1/P_n^ns)]^1/n+1 →1, aleshores (P_n+2^ns+2/P_n+1^ns+1) = (P_n+1^ns+1/P_n^ns)

10ⁿ⁺¹(n+2)^-1(k_n+1ⁿ⁺¹)^-1 / 10ⁿ(n+1)^-1(k_n^n)-1 = 10ⁿ(n+1)^-1(k_nⁿ)^-1 / 10^n-1(n)^-1(k_n-1^n-1)

k_n+1 = k_n^2n/n+1k_n-1^1-n/n+1[(n+1)²/(n²+2n)]^1/n+1

∑_n=1^n=∞ [(n+1)² / (n²+2n)] = ∑_n=2^n=∞ (n²/n²-1)

k_n+1 = k_n^2n/n+1k_n-1^1-n/n+1[(n²/n²-1)]^1/n+1

pràcticament idèntica a les equacions compatibles

k_n^2n/n+1k_n-1^1-n/n+1 (lnk_n/lnk_n-1)^1/n+1 ≈ k_n^2n/n+1k_n-1^1-n/n+1 e ^{kn-kn-1/(n+2)kn-1} ≈ k_n^2n/n+1k_n-1^1-n/n+1 (k_n/k_n-1)^1/n+2, sobretot les dues últimes entre sí.

Unes progressions pràcticament idèntiques (k_n/k_n-1)^1/n+2, segons consta a l’excel “Jocs amb el darrer sumand”, entre, 1,027 i 1,0000594279. Idèntica, igualment a [n² / (n²-1)]^1/n+1, entre 1,1 i 1,0000615896. Idèntica així mateix a e ^{kn-kn-1/(n+2)kn-1}, entre 1,028 i 1,0000594756.

1.- https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

Josep Franco i Giner