La Hipòtesi Àvalon (Annex I)

 

La Hipòtesi Àvalon

Annex I

(a)

A la recerca d’una Progressió

Aritmètica P_n = P₁ + (n-1) d                        Geomètrica P_n = P₁ r ^(n-1)

[d = P_n+1 - P_n] [r = P_n+1 / P_n]

 

A_n = Ln (P_n+1 / P_n) + Ln P_n+1 / Ln P_n.

A_n = A₁ + 0,003104446; A_n = A₁ 1,001047134 (Segons Excel*, amb les mitjanes de d i r, aquestes serien les Progressions), respectivament (que resulten els valors més aproiximats als REALS, al capdavall):

3,2506258001, 3,4233987339, 3,3149370697, 3,3209048120, 3,3184417993, 3,3165545948, 3,3150653153, 3,3138698835, 3,3128950703, 3,3120891192, 3,3114147112, 3,3108443813, 3,3103575144, 3,3099383865, 3,3095748327, 3,3092573205, 3,3108714023, 3,3217503238, 3,3092519722 …

3,250921946, 3,423875796, 3,315300558, 3,321274549, 3,318808957, 3,316919777, 3,315428938, 3,314232254, 3,31325642, 3,312449625, 3,311774511, 3,311203584, 3,310716207, 3,31029664, 3,309932706, 3,309614861, 3,311230633, 3,322120946, 3,309609507 …

I amb les equacions de les progressions, respectivament, A_n = A₁ + 0,003104446 (n-1) i A_n = A₁ 1,001047134^(n-1), serien (i s’obtenen uns valors també molt vàlids, sobretot en els trams ‘finals’, i encara deduïts):

3,247521354, 3,2506258, 3,253730246, 3,256834692, 3,259939137, 3,263043583, 3,266148029, 3,269252475, 3,27235692, 3,275461366, 3,278565812, 3,281670258, 3,284774703, 3,287879149, 3,290983595, 3,294088041, 3,297192486, 3,300296932, 3,303401378, 3,306505824 …

3,247521354, 3,250921946, 3,254326098, 3,257733815, 3,2611451, 3,264559958, 3,267978391, 3,271400404, 3,274826, 3,278255183, 3,281687957, 3,285124325, 3,288564292, 3,292007861, 3,295455036, 3,29890582, 3,302360218, 3,305818234, 3,30927987, 3,312745131 …

I, si enlloc d’usar un valor ‘extrem’ per a A₁, que no deixa de ser un valor poc pròxim a les mitjanes, s’usa un valor més pròxim, com ara A₂, o A₃, o fins i tot la mtjana ‘ajustada (D3 de l’excel*) d’A (3,3100972) els resultats són molt més òptims. Per exemple, amb la Mitjana, això és A₁ = 3,3100972, els valors d’A, serien per a les successions aritmètica i geomètrica, respectivament, A_n = 3,3100972 + 0,003104446 (n-1) i A_n = 3,3100972* 1,001047134^(n-1), però tot i així (‘excel*) surten uns valors allunyats dels reals d’A.

                REALS: 3,2475213543, 3,4202942881, 3,3118326240, 3,3178003662, 3,3153373535, 3,3134501491, 3,3119608696, 3,3107654377, 3,3097906245, 3,3089846734, 3,3083102655, 3,3077399355, 3,3072530686, 3,3068339407, 3,3064703870, 3,3061528747, 3,3077669566, 3,3186458780, 3,3061475264, 3,3065058237 …

                        d = A_n+1 - A_n

0,1727729338, -0,1084616642, 0,0059677423, -0,0024630127, -0,0018872045, -0,0014892795, -0,0011954318, -0,0009748132, -0,0008059511, -0,0006744079, -0,0005703299, -0,0004868669, -0,0004191279, -0,0003635538, -0,0003175123, 0,0016140819, 0,0108789215, -0,0124983516, 0,0003582973 …

                        r = A_n+1 / A_n

(r₁) 1,053201477, (r₂) 0,968288792, (r₃) 1,001801946, (r₄) 0,999257637, (r₅) 0,999430765, (r₆) 0,999550535, (r₇) 0,999639056, (r₈) 0,999705563, (r₉) 0,999756495, (r₁₀) 0,999796189, (r₁₁) 0,999827607, (r₁₂) 0,99985281, (r₁₃) 0,99987327, (r₁₄) 0,99989006, (r₁₅) 0,999903972, (r₁₆) 1,000488205, (r₁₇) 1,003288902, (r₁₈) 0,9962339, (r₁₉) 1,000108373       

                       

α_n = Ln ᴫ / Ln A_n

α_n ≈ α₁ r^(n-1), r→1, n→∞, α_n → α₁, 0,955853 mitjana→0,95

0,9718461811, 0,9308816196, 0,9559317426, 0,9544967521, 0,9550881674, 0,9555421144, 0,9559008323, 0,9561890838, 0,9564243440, 0,9566189909, 0,9567819660, 0,9569198592, 0,9570376232, 0,9571390395, 0,9572270363, 0,9573039101, 0,9569133247, 0,9542939989, 0,9573052052, 0,9572184578 …

Amb els valors α_n = α₁ + -0,00076988 i α_n = α₁ * 0,999269179, mitjanes de d i r, respectivament, els resultats, com passava amb A, són realment bons, com segueix

0,9710763009, 0,9301117394, 0,9551618624, 0,9537268720, 0,9543182873, 0,9547722343, 0,9551309522, 0,9554192037, 0,9556544638, 0,9558491108, 0,9560120858, 0,9561499790, 0,9562677430, 0,9563691593, 0,9564571561, 0,9565340300, 0,9561434445, 0,9535241188, 0,9565353250 ...

0,9711359358, 0,9302013120, 0,9552331278, 0,9537991861, 0,9543901692, 0,9548437844, 0,9552022402, 0,9554902810, 0,9557253692, 0,9559198739, 0,9598010228, 0,9562205223, 0,9563382002, 0,9564395424, 0,9565274749, 0,9566042926, 0,9562139926, 0,9535965811, 0,9566055867 ...

            α_n+1 - α_n

-0,0409645615, 0,0250501230, -0,0014349904, 0,0005914153, 0,0004539470, 0,0003587179, 0,0002882515, 0,0002352601, 0,0001946470, 0,0001629751, 0,0001378932, 0,0001177640, 0,0001014163, 0,0000879968, 0,0000768738, -0,0003905854, -0,0026193257, 0,0030112062, -0,0000867473 ...

            α_n+1 / α_n

0,957848719, 1,026910106, 0,998498857, 1,00061961, 1,000475293, 1,000375408, 1,00030155, 1,000246039, 1,000203515, 1,000170366, 1,000144122, 1,000123066, 1,000105969, 1,000091937, 1,000080309, 0,999591994, 0,997262735, 1,003155428, 0,999909384 ...

(Important!) Amb el valor d’A [A_n = A₁ + 0,003104446] i α [α_n = α₁ + -0,00076988] els valors de ᴫ [ᴫ = e^αn*LnA] són increïblement pròxims al real

3,141658673, 3,141269385, 3,141507823, 3,141494198, 3,141499814, 3,141504124, 3,14150753, 3,141510266, 3,141512499, 3,141514347, 3,141515894, 3,141517203, 3,141518321, 3,141519283, 3,141520118, 3,141520848, 3,141517141, 3,141492273, 3,14152086 ...

Com seria e? (e = ᴫ^1/αn*LnA)

2,718231928, 2,718526219, 2,718345951, 2,71835625, 2,718352005, 2,718348747, 2,718346172, 2,718344104, 2,718342416, 2,718341019, 2,71833985, 2,71833886, 2,718338015, 2,718337288, 2,718336656, 2,718336105, 2,718338907, 2,718357706, 2,718336096 ... bastant bé.

 

Josep Franco i Giner