Confinament 62

 

Confinament 62

 Des l’època d’Euclides era cosa ben sabuda que el nombre de Nombres Primers és infinit; tanmateix, resulta obvi que la densitat de nombres primers va decreixent a mesura que avancem cap a números cada vegada majors. Aquestes i altres consideracions portaren a estudiar un dels problemes més famosos de la teoria de números, el d’intentar descriure exactament la distribució dels nombres primers entre els números naturals.
Història de la Matemàtica. Carl B. Boyer

  La Física dels Primers (X)

Resultats II

 Una sèrie que es pot reescriure, si cercàvem la suma total de tots els àvalons, arrodonint als valora mitjos calculats experimentalment fins la potència 11 de 10, 1011, per trams de potències, agafant com a primer tram els valors obtinguts entre 0 i 106,

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + ...

a1 + a2(a1+ka1) + a3(a2+ka2) + a4(a3+ka3) + a5(a4+ka4) + a6(a5+ka5) + a7(a6+ka6) + a8(a7+ka7) + a9(a8+ka8) + a10(a9+ka9) + a11(a10+ka10) + ...

a1 + (a1+ka1) + (a2+ka2)* + (a3+ka3)** + (a4+ka4)*** + (a5+ka5) + (a6+ka6) + (a7+ka7) + (a8+ka8) + (a9+ka9) + (a10+ka10) + ...

a1 + (a1+ka1) + [a1+ka1+k(a1+ka1)]* + [a2+ka2+k(a2+ka2)]** + [a3+ka3+k(a3+ka3)]*** +

[(a1) + (a1+ka1) + [a1+2ka1+k2a1]* + [a2+2ka2+k2a2]** + [a3+2ka3+k2a3)]*** + [a4+2ka4+k2a4]**** + [a5+2ka5+k2a5]*****

[a2+2ka2+k2a2]**= [a1+ka1+2k(a1+ka1)+k2(a1+ka1)]**=[a1+ka1+2ka1+2k2a1+k2a1+k3a1]**=[a1+3ka1+3k2a1+k3a1]** [a3+2ka3+k2a3)]***=[a2+ka2+2k(a2+ka2)+k2(a2+ka2)]***=[a2+ka2+2ka2+2k2a2+k2a2+k3a2]***=[a2+3ka2+3k2a2+k3a2]***=[a1+ka1+3k(a1+ka1)+3k2(a1+ka1)+k3(a1+ka1)]***=[a1+ka1+3ka1+3k2a1+3k2a1+3k3a1+k3a1+k4a1]***=[a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]***=[+a1+ka1+k(a1+ka1)+2k((a1+ka1)+k(a1+ka1))+k2((a1+ka1)+k(a1+ka1))]***=[a1+ka1+ka1+k2a1+2ka1+2k2a1+2k2a1+2k3a1+k2a1+k3a1+k3a1+k4a1]***=[a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]***

[a4+2ka4+k2a4]****=a3+ka3+2k(a3+ka3)+k2(a3+ka3)=[a3+2ka3+k2a3]***+[ka3+2k2a3+k3a3]=[ a1+4ka1+6k2a1+4k3a1+k4a1]*** + [ka1+ 4k2a1+6k3a1+4k4a1+k5a1]=[a1+5ka1+10k2a1+10k3a1+5k4a1+k5a1]****

[a5+2ka5+k2a5]***** = [a1+6ka1+15k2a1+20k3a1+15k4a1+6k5a1+k6a1] =

Creixen segons aquesta matriu, en escala, 1+2=3, dos números consecutius de la mateix fila sumen el número immediat inferior, semblant al Triangle de Pascal

0_106_65 a1 1a1

106_107_94 a2 1a1 + 1ka1

107_108_141 a1+2ka1+k2a1 a3 1a1 + 2ka1 + 1k2a1

108_109_214 a2+2ka2+k2a2 a4 1a1 + 3ka1 + 3k2a1 + 1k3a1

109_1010_325 a3+2ka3+k2a3 a5 1a1 + 4ka1 + 6k2a1 + 4k3a1 + 1k4a1

1010_1011_552 a4+2ka4+k2a4 a6 1a1 + 5ka1 +10k2a1 +10k3a1+5k4a1 +1k5a1

1011_1012_880* a5+2ka5+k2a5 a7 1a1 + 6ka1 +15k2a1 +20k3a1+15k4a1 +6k5a1 +1k6a1

1012_1013_1403 a6+2ka6+k2a6 a8 1a1 + 7ka1 +21k2a1 +35k3a1+35k4a1 +21k5a1 +7k6a1+ 1k7a1

1013_1014_2236 a7+2ka7+k2a7 a9 1a1 + 8ka1 +28k2a1 +56k3a1+70k4a1 +56k5a1 +28k6a1 +8k7a1 + 1k8a1

1014_1015_3565 a8+2ka8+k2a8 a10 1a1 + 9ka1 +36k2a1 +84k3a1+126k4a1+126k5a1+84k6a1+36k7a1+ 9k8a1+1k9a1

Etcètera. Per exemple, segons els nostres càlculs, si k=0,5, la tercera línia, que seria a3, 141, surt 146; la següent, que seria a4, 214, surt 219; la cinquena, a5, 325, surt 329, amb una aproximació vertaderament increïble. El sisè tram, a6, que hauria de ser 552, segons hem comprovat, d’acord amb aquesta formulació seria, [1, 5, 10, 10 ,5, 1], [1·65+5·k·65+10·k2·65+10·k3·65+5·k4·65+k5·65], [65+162,5+162,5+81,25+20,31+2,03], [494], que era el resultat esperat si l’increment respecte de l’anterior nombre d’àvalons del tram 5 (325) hagués estat del 52%, enlloc d’un 69%, i la constant àvalon d’1,88, enlloc d’1,77, aproximadament. Aquest tram 1010_1011 ens ha obligat a modificar substancialment els valors assumits fins aleshores. Aquí farem el mateix, enlloc d’assignar a k un valor de 0,5 li n’assignem un de 0,51, una variació minúscula, i obtenim per a a6 el valor de 506; i amb un valor de 0,55, 582. Provem amb 0,53: 545; 0,54: 563. Amb açò volíem posar de manifest que les variacions que s’han de fer presumiblement per fer coincidir les diverses formes de comptar els àvalons per potències de 10 en aquesta formulació són mínimes. Per tant, la considerem la millor forma de comptar-los.

Una darrera prova, teòricament en el tram 1011_1012, 100000000000_1000000000000, nosaltres hem comptat , agafant la mitjana de cada valor, 60% i 1,84, respectivament, a7 (a6+60%a6) 883; eLn10*552 - 1,84=877; amb un valor mitjà de 880. I segons la formulació susdita, k=0,5: 740; 0,52: 801; 0,54: 867; que ja s’aproxima amb k=0,55, segur. Amb k=0,545, 1a1+6ka1+15k2a1+20k3a1+15k4a1+6k5a1+1k6a1, s’obté 65+212,55+289,59+210,44+86,01+18,75+1,70=884. Valor identic a a7 (a6+60%a6) 883, amb a6 552. Si a6, com vàrem comptar en altra ocasió, valgués 562, el percentatge que hauríem de tenir en compte, enlloc del 60%, seria d’un 57,11%. Mantenir-lo en el 60%, per a a6 de552 permet modular el valor d’∆ molt millor, entorna del 1,84.

Haurem de tenir en compte que k augmente de valor en cada tram una milèssima, 1010_1011, k=0,54; 1011_1012, k=0,545; 1012_1013, k=0,55...i així successivament.

Al tram 1012_1013, 1a1+7ka1+21k2a1+35k3a1+35k4a1+21k5a1+7k6a1+1k7a1, apliquem k=0,56, i obtenim el resultat, 65+255+428+399+224+75+14+1, de 1461, cosa que indica que segurament amb el valor de k de 0,55, idèntic al tram anterior, estaríem molt pròxims al valors obtinguts amb els percentatge i la constant àvalon (60%, i 1,84, respectivament, 1408, 1398). De fet amb un valor de k de 0,55, la formulació mostra el valor de 65+250+413+378+208+69+13+1, de 1397, idèntic al valor obtingut amb eLn10*880 - 1,84.

 Josep Franco i Giner