Confinament 55

 

Confinament 55

Quan Alícia va travessar l’espill, el món es va invertir; en canvi, en l’estrany món matemàtic que hi ha més enllà del mirall de Riemann, el caos dels nombres primers sembla transformar-se en una estructura ordenada molt més estables que qualsevol matemàtic podia esperar.

La Música dels nombres primers. Marcus du Sautoy

La Física dels Primers (III)

 Àvalon és un conjunt  que compleix les condicions següents,

1.- Són números ordenats segons M, que en la seva totalitat compleixen el fet que són múltiples de 9. Per tant, tots els números d’M assumeixen que la suma dels dígits en la seva expressió decimal és divisible per 9. En M assenyalats com _, i 9, si, a més a més, de primera instancia aquesta expressió suma 9.

n = 10⁰ d₀ + 10¹ d₁ + 10² d₂ + 10³ d₃ + ··+ 10^k d_k = ∑_l=0^k a_l·10^l

En M assenyalats com a 9, si ∑_l=0^k a_l·10^l = 9, de primera instancia, o _, si es necessita d’una segona o més reduccions.

2.- Els Àvalon són, d’aquests números d’M, els que, a més de complir la norma de en primera instancia [∑_l=0^k a_l·10^l = 9], estan entre dos bessons primers, de manera que el número ∆ corresponent segueix també la norma “∆-1 i ∆+1 són primers bessons”. En M en vermell els ∆.

Siga el conjunt dels múltiples de 9, {n·9}, n€N. Tots aquests números compleixen la condició que són de la forma {a₁, a₂, … a_n} essent els a_i els dígits que el constitueixen, ∑a_i/9 €N i és múltiple de 9, {∑a_i/9}€N. A nosaltres ens interessaran els a_i tal que ∑a_i/9=1, és a dir aquells múltiples de 9 que en primera instancia els dígits dels quals sumen 9 (per exemple, 10¹²³+8). I d’aquests aquells que compleixen la condició a_i-1 ∧ a_i+1 són primers bessons.

Un nombre enter n≻0 és divisible per 9↔la suma dels dígits de la seva expressió decimal és divisible per 9, n=d₀ + 10d₁ + 10²d₂ + 10³d₃ + ...+ 10^kd_k = ∑^k _l=0 a_l10^l, essent els dígits d’n en la seva expressió decimal d₀, d₁, d₃, ..., d_k. Àvalon és el subconjunt d’aquest tal que, a) ∑^k _l=0 a_l10^l / 9 = 1; a aquests números els anomenem ∆₁, ∆₂, ∆₃, .., ∆_n, ... , i, b) ∆^∞ _n=1 , p_i-1≺∆_n≺p_i+1, per a qualsevol n€N, són primers bessons. 318 entre 0 i 10⁸.

3.- Siga com siga mai en trobarem en els intervals de les potències de 10, de manera que entre 10ⁿ i 10ⁿ⁺¹ sempre hi haurà un buit necessari de múltiples de 9 de la forma ∑a_i/9=1* igual a 10ⁿ + 7. Per exemple, entre 10 i 10², 17 (del 90 al 108, hi ha 17=10¹+7 números que no compleixen*, 91, 92, … 106, 107; entre 10² i 10³, 107=10²+7 (entre 900 i 1008: 901, 902, …, 1006, 1007); entre 10³ i 10⁴, exactament entre 9000 i 10008 (9001, 9002,...10006, 10007), hi ha 10³+7 números que no compleixen *; entre 90000 i 100008, ídem; etcétera; per tant, entre 10ⁿ i 10ⁿ⁺¹, 10ⁿ + 7. En realitat, [9·10ⁿ+1_10ⁿ⁺¹+1], ambdós números inclosos, no podrem trobar cap àvalon perquè tampoc no n’hi ha cap que assumisca la condició ∑a_i/9=1.

 4.- Excloses les excepcions 18, 108 i 10008, fins el número 100000800*, de moment tots els Àvalons acaben en 2 o en 0, amb una freqüència que, fins aquest nombre darrer podem definir com segueix: 0: 242; 2: 73. Del total d’àvalons, acabats en zero o en 2, (315) fins aquí*, excloent les excepcions (18, 108 i 10008), els acabats en zero representen el 76,7515%. I els acabats en 2, per tant, el 23,2484%. Podem reconsiderar la manera de cercar-los. A partir d’ara els inicialment acabats en 8 tindran seguida en els acabats en 62 i 80. En 7, 52 i 70. En 6, 42 i 60. En 5, 32 i 50. En 4, 22 i 40. En 3, 12, 30. En 2, , 2 i 20. En 1, 1 i 10.

Òbviament que hi hauria candidats d’àvalons que compleixen la regla ∑a_i/9=1 acabats en 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (les excepcions esmentades, per exemple), i fins i tot en 9 (el 9), però ja no complirien la segona norma, éssers escortats per dos primers bessons, ∆_-1≺∆_n≺∆₊₁, per a qualsevol n€N, perquè no hi ha nombres primers acabats en zero, 2, 4, 6, 8, que serien els possibles acompanyants dels àvalon acabats en 1, 3, 5, 7, respectivament. Tanmateix, no n’hem trobat cap acabat en 4 i escortat per dos primers bessons acabats en 3 i 5 respectivament. Cap, tampoc, acabat en 6, escortat per dos bessons primers acabats en 5 i 7, respectivament. I ja hem dit que els acabats en 8 es redueixen als tres números esmentat més amunt.

Intuïm que sempre hi haurà un àvalon ∆_n escortat, si més no, per un primer acabat en 1, de manera que li siga continuació, p_n+1, cas d’aquell acabar en zero, o li siga precedent, p_n-1, en el cas d’acabar en 2 el susdit àvalon. En el 100% dels casos de tots els àvalons apareixerà devora un primer acabat en 1.

5.- La presència d’àvalons en la recta d’N decreix a mesura que avancem, Ho hem interpretat com una disminució de la pressió que s’exerceix sobre el conjunt dels Naturals. Un conjunt que conté els primers com una mena de tensors que mantenen aquella en suspensió en el joc matemàtic que els números practiquen entre si. Els àvalons són com una mena de punts d’ancoratge segurs des d’on fermar els cables que són els primers. Qualsevol sèrie numèrica, i el conjunt d’N ho és, requereix, en els límits, mantenir intacta la seua presència en relació a les altres sèries (Enters, Reals). N se serveix de la tensió que la música dels primers li forneix. Una música que obté la certesa de llur continuïtat en poder afirmar que molt més enllà de l’enllà que puguem imaginar existeix un àvalon, que no deixa de ser un nombre ben predicible (múltiple de 9), devora, segur, d’un primer acabat en 1. En aquells límits, la tensió es torna tan feble, però, que la corda N vibra. Són els confins que converteixen el polsim de Cantor, per exemple, en pluja d’estels. La Hipòtesi de Riemann en un seguit de zeros no trivials dissolts en una única nota (el punt d’M per on passarà el raig de llum). O la condició d’ona de la llum en un passat llunyà.

Intuïm que en els límits sempre quedarà algun àvalon, sempre, que indique el camí dels primers, si més no d’aquell acabat en 1 devora d’un àvalon. La senda que els escortes bessons primers assenyalen és certa en els acabats en 1, probable en un 75% en els acabats en 9, i més inestable, fins a un 25%, en els acabats en 3.

Cal dir que hi ha trams en què els àvalons desapareixen i la tensió creix infinitesimalment sostinguda com més avancem (entre 8·10⁶ i 10⁷, per exemple), per bé que ja ho sabíem, segons la norma del punt 3, esmentada més amunt, 10ⁿ + 7 buits entre 9·10ⁿ+1 i10ⁿ⁺¹+1. Tot i que excepcionalment també es dona el cas de créixer puntualment en alguns punts: en el pas de 10,1·10⁶ i 10,3·10⁶, per exemple.

Marcus du Sautoy

6.- La conjectura és que més enllà del darrer primer conegut n’existirà un que tindrà les següents característiques:

- acabarà en 1.

- anterior a ell, acabat en 0, hi haurà un número múltiple de 9, la forma del qual serà que la suma dels seus dígits serà 9. En una probabilitat del 75%, aproximadament. Aquesta probabilitat tendirà a 100 segons anem avançant en la recta d’N.

- posterior a ell, acabat en 2, hi haurà un número múltiple de 9, la forma del qual serà que la suma dels seus dígits serà 9. En una probabilitat del 25%, aproximadament. Aquesta probabilitat tendirà a zero segons anem avançant en la recta d’N.

- per tal de trobar-lo, bastarà col·locar el darrer primer conegut, cercar el pròxim múltiple de 9, la forma del qual siga que la suma dels seus dígits siga 9, acabat en zero o en 2, i comprovar que el número que hi ha a un costat o l’altre és un primer acabat en 1. Segons anem avançant en la recta d’N la probabilitat de trobar un àvalon acabat en zero seguit d’un primer acabat en 1 tendirà a 100%. Els àvalons acabats en 2 tendeixen a desaparèixer.

La CONCLUSIÓ seria que en els entorns del darrer primer conegut, un número de 30000000 de xifres, aproximadament, i més enllà, en trobarem un la suma dels dígits del qual (aquestes 30000000 de xifres) serà 10 i acabarà en 1. I devora, la localització del qual és absolutament previsible, un múltiple de 9, la suma dels dígits del qual en primera instància serà 9, acabat en zero. Aquest és el far que il·luminarà a aquell. Pel que fa a la pressió, en aquell món de 30000000 de xifres, 10^30000000 dígits, l’aparició d’un àvalon, l’oscil·lació per cada tram de 10⁵ és de l’ordre d’un zero seguit de 29999995 zeros, el mateix nombre de zeros, pràcticament, que la potència de 10^29999995, el nombre de trams de 10⁵ que hi ha entre una xifra de 30000000 de dígits i una altra de 29999999 de dígits. Per tant, un i l’altre, han de coincidir sobre l’eix de les ics, si ateníem a la pressió, o sobre l’asímptota a aquest eix del ramal de la hipèrbole, si de proporcions respecte de N d’àvalons parlàvem. L’oscil·lació en una determinada potència de 10 és igual a aquesta potència menys 5, que és la potència dels trams en què mesurem la pressió, 10⁵. Així en 10⁹ serà de 10^-4. En 10ⁿ, seria de 10^-(n-5)Pel que fa a les matrius M, sempre en trobarem alguna immensament allunyada d’una altra, immensament, que contindrà un àvalon, la distància de les quals serà un número enter, amb decimals o no, de 9900.

La quantitat de números que trobarem entre dues potències de 10, n i n+1, serà igual a 9·10ⁿ, i hi haurà 9·10^n-1 números acabats en 1 i idèntic nombre de números acabats en 0. En definitiva, el nombre d’àvalons entre dues potències consecutives de 10 serà e^ln10x-∆. On x serà el nombre conegut d’àvalons entre la potència anterior.

0_10¹_0; 10¹_10²_2; 10²_10³_5: 10³_10^4_11; 10⁴_10⁵_20; 10⁵_10⁶_45; 10⁶_10⁷_94; 10⁷_10⁸_141; 10⁸_10⁹_213; 10⁹_10¹⁰_325; 10¹⁰_10¹¹_491**; i 10¹¹_10¹²_742***. I així successivament. Considerem que la pressió oscil·la entre 1,88, 1,89, 1,90, entre potències a partir de 10⁶.

La totalitat d’àvalons seria de [y = e^{Ln10x - ∆}], on ∆ seria l’increment entre potències de la pressió (en realitat, constant entorn del valor 1,88, 1,89, 1,90, aproximadament.

Si fins a la potència 10ⁿ hi ha x àvalons. Volem saber quants n’hi haurà en la potència següent, 10ⁿ⁺¹, anomenem-ho y.

Òbviament 10ⁿ / x serà el nombre de naturals per cada àvalon, fins a 10ⁿ. Siga s. Ln s=k.

Igualment, 10ⁿ⁺¹ / y serà el nombre de naturals per cada àvalon fins a 10ⁿ⁺¹. Siga t. Ln t=l.

Aplicant la constant àvalon ∆, de la progressió comprovada, per bé que fent aproximacions,  entre 0 i 1000000000, per cada potència de 10,

K+∆=l; Ln 10ⁿ / x + ∆ = Ln 10ⁿ⁺¹ / y; Ln 10ⁿ –Ln x + ∆ = Ln 10ⁿ⁺¹ – Ln y;
Ln y – Ln x ∆ = Ln 10ⁿ⁺¹ – Ln 10ⁿ ; Ln y/x +∆ = Ln 10ⁿ⁺¹ / 10ⁿ; Ln y/x + ∆ = Ln 10;
Ln y – Ln x + ∆ = Ln 10; Ln y = Ln 10 + Ln x – ∆ = Ln 10 x – ∆;
[y = e^{Ln10x - ∆}].

 Josep Franco i Giner